Equations differentielles ordinaires

Equations différentielles ordinaires du premier ordre

 

On cherche une fonction y telle que u'(t) = f(u(t),t) et u(0) = u₀

L'étude de l'existence et de l'unicité de solutions à ce problème est délicate. Le théorème de Cauchy-Lipschitz dit que s'il existe un réel k tel que, pour tous x, y et t,

|f(x,t)-f(y,t)| =< k.|x-y|

alors il existe une solution globale unique.

Euler

Le schéma d'Euler progressif (explicite) est obtenu en écrivant

(u_n+1-u_n) / (t_n+1-t_n) = f (u_n,t_n)

Le schéma d'Euler rétrograde (implicite) correspond à : (u_n+1-u_n) / (t_n+1-t_n) = f (u_n+1,t_n+1).

Taylor

Les méthodes de Taylor constituent une généralisation de la méthode d'Euler en s'appuyant sur des développements (... de Taylor) d'ordre plus élevé. On a

u(t_n+1) = u(t_n) + u'(t_n)h + u''(t_n)h²/2 + O(h³)

soit

u(t_n+1) = u(t_n) + f(u(t_n), t_n) h + f'(u(t_n), t_n) h²/2 + O(h³)

La dérivation en chaîne permet d'écrire

f'(u(t), t) = f_,t(u(t),t) + f_,u(u(t),t) u'(t)

soit

f'(u(t),t) = f_,t(u(t),t) + f_,u(u(t),t) f(u(t),t)

On a donc :

u(t_n+1) = u(t_n) + h f(u(t_n), t_n) + h²/2 [f_,t(u(t),t) + f_,u(u(t),t) f(u(t),t)] + O(h³)

itération qui constitue le coeur des méthodes de Taylor mais qui nécessite évidemment le calcul des dérivées partielles de f.

Runge-Kutta d'ordre 2

L'objectif principal des méthodes de Runge-Kutta est de s'affranchir des calculs de dérivées introduits précédemment, tout en conservant le même ordre de précision. On remplace donc l'itération précédente par

u(t_n+1) = u(t_n) + a₁h_nf(u(t_n), t_n) + a₂h_nf(u(t_n)+a₃h_n, t_n+a₄h_n)

Pour déterminer les paramètres a₁, a₂, a₃ et a₄, on recourt au développement de Taylor en deux variables. On obtient alors un système non-linéaire sous-déterminé, ce qui permet de disposer de plusieurs possibilités, donc de plusieurs variantes de méthodes de RK.

A l'ordre 2, on aboutit au même résultat en remarquant qu'en intégrant la première équation du problème de Cauchy entre deux instants t_n et t_n+1, on obtient :

u(t_n+1) - u(t_n) = Int _(tn=>tn+1) f(u(t),t).dt

En utilisant la méthode des trapèzes, on a alors

u_n+1 - u_n = h_n/2 (f (u_n,t_n)+f (u_n+1,t_n+1))

où h_n = t_n+1 - t_n.

Cette expression est implicite, mais on peut s'en affranchir en remplaçant u_n+1 dans le membre de droite par u_n+1 = u_n + h_n.f (u_n,t_n). On peut ainsi écrire la méthode de Heun, ou méthode d'Euler modifiée, qui fait partie des méthodes de RK2 explicites :

p₁ = f (u_n,t_n)
p₂ = f (u_n+h_np₁,t_n+1)
u_n+1 = u_n + h_n/2 (p₁+p₂)

ou encore

u_préd = u_n + h_n f(u_n,t_n)
u_n+1 = u_n + h/2 (f(u_n,t_n)+f(u_préd,t_n+1))

qui est en fait une méthode de type prédiction-correction, dont la première étape correspond à une simple itération d'Euler.

Une variante est celle dite du point milieu qui se décompose en :

p₁ = h_n f(u_n,t_n)
u_n+1 = u_n + h.f(u_n+p₁/2,t_n+h_n/2)

Runge-Kutta d'ordre 4

p₁ = f (u_n,t_n)
p₂ = f (u_n+h_np₁/2,t_n+h_n/2)
p₃ = f (u_n+h_np₂/2,t_n+h_n/2)
p₄ = f (u_n+h_np₃,t_n+1)
u_n+1 = u_n + h_n/6 (p₁+2p₂+2p₃+p₄)

 

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Equations différentielles ordinaires d'ordre supérieur ou égal à 2

 

On peut ramener une e.d.o. du second ordre à un système du premier ordre par introduction de nouvelles inconnues. Ainsi, une edo de la forme u''(t) = f (u(t),u'(t),t) peut se réécrire en posant u'(t) = v(t) et v'(t) = f (u(t),v(t),t). Mais il existe également des méthodes adaptées aux e.d.o du deuxième ordre.
 

Les méthodes présentées ci-dessus sont dites à un pas, puisque l'on y exprime u_n+1 à partir de u_n. Les méthodes multipas utilisent les u_n, u_n-1, u_n-2, etc ...

Suite à viendre ...