Considérons un volume élémentaire V situé entre les abscisses x et x+dx.

1. Conservation de la masse

Ecrivons que la variation de la masse du fluide contenu dans le volume élémentaire est nulle.
Si l'on note r la masse volumique, A l'aire de la section du tube et U la vitesse, on a, en négligeant les termes de deuxième ordre :

- masse contenue dans V : r.A.dx

- débit de masse : r.A.U + (rAU)_,xdx

La conservation de la masse s'écrit donc

(r.A.dx)_,t + (r.A.U)_,xdx = 0

 Si on suppose que A ne dépend pas de t (dans la mesure où les parois sont indéformables compte tenu de la compressibilité du gaz), on peut écrire :

r_,t + U.r_,x + r.U_,x + (r.U/A) dA/dx = 0

2. Conservation de la quantité de mouvement

Elle traduit le fait que la résultante des forces exercées sur le volume de fluide est égale à la variation de la quantité de mouvement.

La résultante des efforts de pression sur les faces amont et aval est égale à -pA - (pA)_,xdx.
La résultante des efforts de pression sur les parois est égale à p.A_,xdx
En faisant l'hypothèse que le volume élémentaire est de section circulaire constante de diamètre D et que le coefficient de frottement est f, la résultante des forces de cisaillement vaut -f.r.U²/2.p.D.dx.U/|U|

La variation de la quantité de mouvement est (r.A.U.dx)_,t.
La différence des débits de qdm entre amont et aval vaut : r.A.U² + (r.A.U²)_,xdx

Après simplification on peut alors écrire que :

-f.r.U²/2.p.D.dx.U/|U| - A.p_,xdx = (r.A.U)_,tdx + (r.A.U²)_,xdx

L'équation retenue pour traduire la conservation de la qdm résulte d'une combinaison de l'équation précédente et de celle de la conservation de masse :

U_,t + U.U_,x + (1/r)p_,x + F = 0

avec F = (4f/D)(U²/2)(U/|U|).

3. Conservation de l'énergie

La quantité de chaleur échangée est donnée par q.r.A.dx.

La variation dans le temps de l'énergie s'écrit

(r.A.dx (C_vT+U²/2))_,t

où C_v.T est la contribution de l'énergie interne et U²/2 celle de l'énergie cinétique.

Le gaz qui franchit les sections amont et aval est porteur d'une énergie interne, d'une énergie cinétique, et du travail p/r des forces de pression.

La conservation de l'énergie s'écrit donc :

q.r.A.dx = (r.A.dx (C_vT+p/r))_,t + (r.A.U (C_vT+U²/2+p/r))_,x dx

On utilise maintenant :

- l'équation d'état p/r = rT satisfaite par un gaz parfait compressible.
- la définition du rapport des chaleurs spécifiques g =  C_p/C_v
- la définition de la célérité du son en écoulement isentropique a² = dp/dr
- le fait que pour un gaz parfait dans ces conditions p / r^g= cte, donc a² = g.p/r.

Avec ces hypothèses la conservation de l'énergie peut finalement s'écrire, après quelques petits tours de passe-passe :

r (g-1) (q+UF) = (p_,t + U.p_,x) - a² (r_,t + U.r_,x)

4. Deuxième principe de la thermodynamique

En supposant que la transformation est réversible, on écrit la relation de Carnot Clausius sous la forme d'une égalité : dS = dQ/T = (dE + dW)/T,
où dE = d(CvT) est la variation d'énergie interne et dW est le travail intérieur des forces de pression, égal à p.d(1/r).

Avec les relations obtenues plus haut, on obtient : T.dS = (dp-a²dr) / (r(g-1)).

Les quantités élémentaires dp et dr sont ici des dérivées particulaires (cf. définition), c'est-à-dire que

dp = (p_,t + U.p_,x) dt et dp = (r_,t + U.r_,x) dt

En utilisant la conservation de l'énergie on obtient alors :

T dS/dt = q + U.F