Dire que je vais essayer de parler d'un truc alors qu'il m'arrive parfois (qui a dit souvent ?) de ne pas y comprendre grand chose. Mais bon, faut bien commencer quelque part ! Disons pour simplifier que l'objectif est de Modéliser le Comportement mécanique de Structures.
- Modéliser, c'est trouver un modèle mathématique qui représente, qui simule, la réalité. Il faut donc ne jamais oublier que ce n'est qu'une approximation. Un modèle mathématique, aussi complet soit-il, ne pourra jamais représenter parfaitement la réalité. Cependant, dans bien des domaines aujourd'hui, ils atteignent un niveau de précision étonnant. Bien sûr, dans les domaines les plus complexes, le pouvoir prédictif laisse encore à désirer, comme le montre le refus des méteorologues à prevoir le temps au delà d'une petite semaine.
- Le comportement mécanique, c'est tout simplement la manière dont des pièces bougent, se déforment sous l'action des efforts auxquels ils sont soumis. Ainsi, la chaise sur laquelle vous êtes assis en ce moment a été conçue pour résister à votre poids, et même à un peu plus si tout va bien ... Sans qu'on le decèle, elle se déforme et ce sont ces déformations que les concepteurs doivent prédire.
- Le terme structure est assez général puisque cela va
de la chaise que nous venons de prendre en exemple à un avion entier,
en passant par une lame de rasoir. L'éventail est donc large ...
On peut même s'attaquer aux fluides, avec des différences
au niveau des modèles mathématiques, éventuellement
au niveau des méthodes de résolution des équations,
mais globalement une approche identique.
La technique la plus répandue pour calculer les déformations
des pièces s'appelle la Méthode des Eléments Finis.
Il s'agit "tout simplement" d'une méthode de resolution d'équations
différentielles un peu particulières, les équations
aux dérivées partielles (EDP). Les EDP que l'on utilise en
calcul de structures traduisent :
- l'équilibre de la structure
- la loi de comportement du matériau constitutif de la structure
- les conditions aux limites, c'est-à-dire les restrictions
en déplacement (points d'appui ...) et les efforts appliqués
à la structure.
Il est impossible de satisfaire rigoureusement ces équations
en tout point de la structure, notamment parce qu'ils existe des points
de discontinuité . Aussi introduit-on une formulation différente
de ces équations, dite formulation faible, qui permet de s'affranchir
de ces difficultés locales tout en garantissant que la solution
sera globalement correcte.
On divise ensuite la structure en éléments de petite
taille, sur lesquels on suppose que la solution peut-être représentée
par une expression polynômiale. Cette hypothèse garantit que
lorsque la taille des éléments décroit, la solution
approchée converge vers la solution exacte.
Les cours théoriques d'éléments finis sur le web
ne manquent pas, dans la mesure où on en trouve quasiment sur les
sites de tous les laboratoires universitaires plus ou moins directement
versés dans la mécanique. Les "cours pratiques", en revanche,
sont beaucoup plus rares.
Et si une parfaite maitrise des formulations variationnelles n'est
d'une utilité que très relative dans un contexte industriel,
il semblerait en revanche qu'une synthèse des "grands principes"
de la pratique des éléments finis puisse en intéresser
certains ...
Certains outils de modélisation/simulation devenant en outre
relativement accessibles, les profanes risquent de se retrouver forts
dépourvus
devant l'interface parfois austère de certains softs, s'ils pensent
disposer du bon outil mais ne savent pas par quel bout le prendre ...
Tempus fugit ... ou comment déterminer si on est plutôt du genre statique ou dynamique
Ah bah oui, parce que bon, c'est bien gentil hein ... Mais une
fois
qu'on a le soft à 5, 10 ou 50 mille euros la licence, faut quand
même le rentabiliser l'investissement ! C'est bien beau d'avoir un
code capable de résoudre des problèmes visco-élasto-plastiques
en grandes déformations avec du contact et tout et tout, mais si
c'est juste pour faire un calcul de poutres type RDM, c'est moins
utile.
Et vice-versa, d'ailleurs. Surtout. Parce que qui peut le plus peut le
moins, en général. Mais je digresse, je digresse.
Donc, disais-je, l'important, c'est de savoir ce qu'on veut faire.
Sisi. Donc il faut arriver à ranger le problème mécanique
qui nous intéresse dans la bonne case.
Première question importante, le temps joue-t-il un rôle
important dans l'affaire ? Non, pas le temps qu'il fait dehors, mais
celui
qui s'écoule. L'echelle temporelle a-t-elle une importance quelconque
? Il s'agit en effet de séparer les problèmes dits statiques
de ceux que l'on appelle dynamiques. Pour illustrer cette différence,
un calcul de crash dans l'industrie automobile est évidemment hautement
dépendant du facteur temps, alors que le calcul d'une chaise soumise
à son propre poids (et éventuellement au vôtre) ne
l'est pas. Enfin ... il ne l'est pas, à condition que votre chaise
soit concue dans un matériau "classique". Si elle était en
plastique mou elle s'affaisserait avec le temps, et celui-ci
reprendrait
donc de l'importance si on voulait étudier ce phénomène
d'affaissement. Mais bon, normalement la déformation de la chaise
sous votre poids n'évolue pas avec le temps, on considère
donc que ce problème entre dans le cadre d'une analyse statique.
Ceux qui connaissent déjà un peu Nastran savent que c'est
par exemple synonyme d'une SOL 101 (ou 106,
voir plus
bas), alors que pour ceux qui utilisent Abaqus il s'agira d'écrire
une carte *STATIC à l'intérieur du step de
calcul.
Linéaire, linéaire ... est-ce que j'ai une gueule de calcul linéaire ?
Autre critère majeur dans la détermination de la bonne case dans laquelle ranger un calcul, la notion de linéarité. Ah, c'est déjà un peu plus délicat, enfin moins intuitif que la question du temps. Les plus matheux répondront qu'un problème est linéaire si toute combinaison linéaire de solutions est à son tour solution dudit problème. J'avoue avoir la flemme de vérifier s'il s'agit d'un "si" ou d'un "si et seulement si", mais en bon physicien, ou, encore pire, en bon (?) mécanicien on va considérer que l'idée est là : si je multiplie mon poids par deux (si vous avez des bonnes recettes de baklavas, n'hésitez pas à me les envoyer), est-ce que la déformation de ma chaise va augmenter dans le même rapport ? Pour répondre à cette question il faut savoir si, sous les sollicitations considérées, le matériau reste dans un domaine où il se comporte de manière élastique. Si oui, c'est (momentanément, voir plus bas) gagné. S'il se déforme plastiquement [1], par contre, il faudra envisager une analyse non-linéaire.
[1] Ce qui reste du domaine du possible même pour une chaise en métal :-) Pour ceux qui pensent que je joue à l'alchimiste, prière de se rapporter aux définitions de l'élasticité et de la plasticité dans un bon livre (ou sur un bon site) de m.m.c, ou mécanique des milieux continus. Si j'ai le courage, un jour ...
Mais la notion de linéarité n'est pas liée à la seule loi de déformation du matériau. Un calcul peut également nécessiter un traitement non-linéaire si les conditions aux limites, notion sur laquelle on reviendra plus en détail ultérieurement, varient ou non avec l'intensité du chargement. Pour revenir à notre chaise test, le fonctionnement normal c'est d'être en appui sur ses quatre pieds. Mais si on applique un effort horizontal sur le dossier, la chaise a toutes les chances de basculer sur deux pieds (les heureux propriétaires de sièges à roulettes sont priés de ne pas venir perturber les débats), ce qui modifie les conditions aux limites. Donc le calcul ne pourra plus être linéaire. Dans ce cas précis le plus simple est sans doute de le traiter comme une succession de calculs linéaires aux conditions aux limites distinctes, mais c'est parfois impossible ...
Dernier phénomène susceptible de faire basculer un calcul
dans le domaine non-linéaire, la notion de "grandes déformations".
Là aussi il est sans doute nécessaire de se te me vous faire
une petite piqure de rappel de m.m.c, parce que ce n'est pas forcément
simple à présenter en quelques lignes.
Paramètres de calcul Nastran
Déroulement d'un calcul statique Nastran
SOL 112 : analyse dynamique transitoire par superposition modale
SOL 200 : optimisation