Introduction à l'équilibrage des moteurs
mono et multicylindres

Un moteur à combustion interne est soumis non seulement aux efforts engendrés par la combustion des gaz, mais aussi à des efforts d'origine inertielle. En effet, les éléments mobiles d'un moteur sont soumis à des cycles d'accélération et de décélération particulièrement violents, ce qui, compte tenu de leur masse, donc de leur inertie, engendre des sollicitations cycliques considérables sur l'ensemble du moteur. Ces sollicitations "remontent" ensuite au cadre ou au chassis sous forme de vibrations et de bruit. Cependant, sans même aborder les questions de confort et d'isolation vibro-acoustique, ces sollicitations peuvent être destructrices si le moteur n'est pas correctement équilibré.

Si l'on note Z l'axe du vilebrequin, Y l'axe de translation des pistons, et X l'axe perpendiculaire aux deux précédents, on définit les termes suivants :
- effort suivant X : tamis
- effort suivant Y : pilon
- couple autour de X : galop
- couple autour de Y : lacet
- couple autour de Z : basculement

Les efforts d'inertie engendrés par le mouvement du piston sont de nature purement "translationnelle" (on utilise plutôt le terme "alternatif"), alors que ceux engendrés par le mouvement des manetons du vilebrequin sont de nature rotationnelle. La contribution de la bielle est plus complexe, puisque son mouvement combine translation et rotation. On considère pour la modélisation qu'une fraction de la masse de la bielle est en translation et que l'autre fraction suit un mouvement de rotation.

L'équilibrage des masses rotatives est toujours possible, puisqu'il "suffit" de disposer des contrepoids symétriquement aux manetons. Ainsi, pour un vilebrequin de monocylindre que l'on schématise ainsi

 on peut disposer les contrepoids suivants :

de manière à ce que l'inertie de ces derniers compense exactement celle des masses rotatives. C'est généralement l'architecture moteur qui fixe l'encombrement de ce dernier et impose ainsi un excentrement maxi des contrepoids par rapport à l'axe de vilebrequin. Leur masse devra être calculée en conséquence ...

Considérons un moteur monocylindre, tel qu'illustré dans la figure suivante :

Le point O représente l'axe du vilebrequin, M l'axe du maneton, et P l'axe de piston. Lorsque le vilebrequin tourne, M parcourt un cercle de rayon r. La longueur de la bielle est L.
L'objectif est, dans un premier temps, d'exprimer la distance OP en fonction de la vitesse de rotation du moteur, donc de l'angle a seulement, en éliminant l'angle b. 
Si on note M' la projection sur la verticale du point M, on a OP = OM' + M'P, soit OP = r cos(a) + L cos(b).
Par ailleurs, les projections sur l'horizontale de PM et de OM sont identiques, ce qui nous permet d'écrire que L sin(b) = r sin(a). Donc sin(b) = r/L sin(a). Comme sin²(b)+cos²(b) = 1, on a cos(b) = (1-sin²(b))^1/2 =(1-r²/L² sin²(a))^1/2.
L'écriture d'OP obtenue plus tôt se reformule alors :

OP = r cos(a) + L(1-r²/L² sin²(a))^1/2

Pour obtenir une formulation analytique intéressante à manipuler, il est nécessaire de passer par un développement en série de cette expression. Rappelons tout d'abord que L est la longueur de la bielle, alors que r, rayon du cercle parcouru par le maneton, est égal à la moitié de la course du piston ; le rapport r/L est typiquement compris entre 0.1 et 0.2 pour la majorité des moteurs. Ainsi, la quantité r²/L² sin²(a) est petite devant l'unité, ce qui nous permet de ne conserver, dans une bonne approximation, que les deux premiers termes du développement :

(1-r²/L² sin2(a))^1/2 ~ 1-r²/(2L²) sin²(a)

 On a alors

OP = r cos(a) + L(1-r²/(2L²) sin²(a))

Si l'on note w la vitesse de rotation du moteur, on a : a = wt, et en dérivant deux fois l'expression ci-dessus, on peut calculer la vitesse puis l'accélération du piston :

dOP/dt = -rw sin(wt) -r²w/(2L) sin(2wt) + ...

d²OP/dt² = -rw² (cos(wt) + r/L cos(2wt)) ...

Dans cette expression, qui donne l'accélération du piston donc les efforts d'inertie de translation auxquels le moteur est soumis (il suffit de multiplier cette expression par la masse du piston), on voit donc apparaître des termes dépendant de la vitesse de rotation du moteur et de son double. Ce sont ce qu'on appelle les harmoniques de premier et de second ordre.

On voit également l'importance du rapport r/L, caractéristique fondamentale de la géométrie d'un moteur. Pour une course donnée (r fixé), si L augmente, la masse de la bielle et la hauteur du moteur augmentent, mais les efforts exercés par le piston sur la chemise diminuent, et l'effort maximal d'inertie diminue également. En effet, l'accélération est maximale, d'après les équations ci-dessus, lorsque wt est nul, et vaut alors -rw² (1+r/L). Le signe - indique simplement que l'accélération est dirigée vers le bas, puisque cette valeur est obtenue lorsque le piston est au PMH.
Lorsque le piston est au PMB, en revanche, l'accélération est positive mais plus faible en valeur absolue puisqu'elle vaut rw² (1-r/L). On peut d'ailleurs montrer que l'allure de la courbe représentant l'accélération du piston varie selon la valeur de r/L. Lorsque ce rapport est inférieur à 1/4, l'accélération positive maximale est effectivement obtenue au PMB, donc pour un angle a = p. Lorsque r/L > 1/4, par contre, il y a deux extremums positifs (symétriques par rapport à p) obtenus pour les angles solutions de l'équation sin⁶(a) - (L/r)² sin⁴(a) - (L/r)⁴ sin²(a) + (L/r)⁴ = 0.

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