(Où l'on montre que l'usage des probabilités est souvent tout sauf intuitif)
Quoi de mieux qu'un petit jeu pour commencer la semaine ? Imaginez deux boites, contenant chacune une somme d'argent différente. Vous en choisissez une, on vous montre le contenu, puis on vous demande si vous voulez vous en tenir à votre premier choix ou bien changer et récupérer le contenu de l'autre boîte. Vous n'avez aucun autre élément pour vous décider (vous ignorez notamment le montant des sommes mini et maxi que vous pouvez y trouver ...).
Une réflexion sommaire a tendance à laisser croire que l'on ne peut faire mieux que ce que nous autorise le hasard, à savoir que sur un grand nombre de tirages vous trouverez la boite la mieux dotée en moyenne une fois sur deux. Et pourtant, il existe une stratégie qui permet de faire un peu mieux que ça. Quelle est-elle ?
Jeu de boites
lundi 30 octobre 2006. Lien permanent Intello
9 réactions
1 De Krysztof von Murphy - 30/10/2006, 17:40
Il y a un minimum qui est 0. Donc si la somme gagnée est considérée comme "dérisoire", autant changer. Si non, autant jouer la sécurité et encaisser ce qu'on a.
Mais là je dois introduire un peu de psychologie, et j'attends la réponse avec impatience...
2 De Enro - 30/10/2006, 20:02
On peut fixer a priori un montant minimum x et conserver la première somme tirée si elle est au moins égale à x ou la rejeter sinon. Mais difficile de faire la démonstration, avec des probas conditionnelles sans doute... :-/
3 De Eric C. - 30/10/2006, 21:24
Une boîte de rochers Suchard pour Enro, c'est effectivement la bonne réponse. Démonstration avé les mains : si les deux boites contiennent un montant inférieur ou supérieur à la valeur x fixée à l'avance, on s'en remet aux vertus du dieu hasard et converge vers le 50/50 théorique. En revanche dans les cas où x est entre les deux, la stratégie adoptée permet de récuperer la somme la plus élevée.
Ce qui est anti-intuitif au possible c'est que ça fonctionne quelle que soit la valeur seuil choisie (avec évidemment une probabilité de faire mieux que 50/50 très faible si on choisit un seuil très faible ou très élevé ...).
Christophe : à propos du facteur psychologique qui intervient dans le choix de la valeur seuil, lire ce billet de John Kay
4 De Enro - 31/10/2006, 14:30
Aaaargh, trop simple la démonstration, je suis frustré... !!
5 De Tom Roud - 31/10/2006, 23:43
N'y aurait-il pas un jeu débile sur TF1 animé par Arthur qui fonctionne sur le même principe ;) ?.
Sinon, je suis un peu perturbé par cette stratégie. En fait, il me semble qu'on utilise quand même une information, ou plus exactement un modèle de ce qu'on attend dans cette stratégie. Ainsi, si tu as une idée de ton espérance a priori, connaître le contenu d'une boîte te donne immédiatement le contenu de l'autre boîte et te fixe ta stratégie optimum (c'est plus ou moins ce que tu fais dans ce jeu, non ?). Pour faire une analogie biologique, j'ai l'impression que c'est exactement comme cela que des cellules prennent des décisions par exemple (en plus ça évite des conséquences fâcheuses type âne de Buridan).
6 De Eric C. - 01/11/2006, 14:37
Inutile d'avoir une idée de l'espérance a priori. Si le seuil que l'on choisit est "absurde", cette stratégie fonctionne au pire comme celle consistant à s'en remettre complètement au hasard.
Au début je trouvais ça tellement peu intuitif que j'ai fini par écrire un petit bout de code Matlab pour m'en convaincre. Sur 10^7 tirages, laisser faire le hasard me donne bien un taux de succès moyen de 50% à quelques centièmes près.
En tirant des sommes entre 1 et 1000, fixer le seuil à 2 ou 3 (ce que tenterait par exemple un joueur qui n'a aucune idée des montants espérés) ne fait évidemment pas évoluer le taux de succès de manière sensible. En le fixant à 100, le gain est déjà net (je n'ai plus le chiffre en tête, dans les 53% de taux de réussite je crois). Et avec un seuil "optimal", à 500 (qui présuppose comme tu le faisais que l'on a une idée de l'espérance), le taux de réussite atteint 62.5%
Pourquoi 62.5%, ça, par contre ...
7 De Tom Roud - 01/11/2006, 15:55
Salut,
cela marche quel que soit le seuil, simplement si tu "devines" l'espérance, tu maximises probablement ton taux de réussite (tu ne dois pas pouvoir faire mieux que 62.5% en fait). Pour le 62.5 %, qu'est-ce que tu calcules exactement ? Cela ne doit pas être trop dur à comprendre : tu as une chance sur quatre que tes deux boîtes soient en-dessous de 500 (donc tu perds forcément), une chance sur deux que l'une soit au-desous l'autre au-dessus (dans ce cas, ta stratégie te permet de tirer la bonne boîte à tous les coups), une chance sur quatre que les deux soient au-dessus (dans ce cas tu as une chance sur deux de tirer la boîte la plus élevée). Dans ce cas, tu as 75% de chances de gagner plus de 500, non ? Le 62.5 % correspondrait au deuxième cas + le troisième cas avec succès (i.e. l'événement "gagner + de 500 & avoir la boîte la plus élevée"). Je ne suis pas encore très réveillé, j'espère ne pas dire de conneries...
8 De Eric C. - 02/11/2006, 00:00
62.5% c'est le taux de réussite maxi, c'est-à-dire le nombre de fois où l'on choisit la boite la mieux dotée.
C'est vrai que c'est pas simple de faire fonctionner ses neurones un jour férié, et je me demande s'il ne faut pas regarder ça dans une perspective bayesienne pour retrouver ce résultat, ce qui ne m'est pas franchement naturel.
Enfin on peut essayer quand même :
- 1 chance sur 4 que b1 et b2 contiennent moins de 500. Puisque b1 < 500 on change, donc on tombe sur la boite la mieux dotée si b2>b1, ce qui se produit une fois sur 2. Résultat : 12.5% de succès.
- 1 chance sur 4 que b1 < 500 et b2 > 500 : la stratégie est gagnante à tous les coups => 25% de succès.
- 1 chance sur 4 que b1 > 500 et b2 < 500 : idem => 25% de succès.
- 1 chance sur 4 que b1 > 500 et b2 > 500 : on garde la boite, et comme en 1 ça donne 12.5% de succès.
Bon, là aussi je tombe sur 75%, il y a qqchose à revoir ...
9 De Tom Roud - 02/11/2006, 01:15
Oui, c'est ce qu'il me semblait aussi (c'est pour cela que je cherchais un événement un peu mixte, car 62.5%=1/2 +1/8, c'est trop beau pour ne pas correspondre à quelque chose).
Sinon, tu peux appliquer ce raisonnement à n'importe quel seuil a priori il me semble : si tu appelles ton seuil theta, la proba pour qu'une boîte ait une valeur en dessous du seuil (en supposant que tout soit bien uniforme) est theta/1000, donc la proba que tes deux boîtes soient en-dessous du seuil est proportionnelle à theta², toutes les deux au-dessus (1000-theta)^2, l'une au-dessus l'autre en-dessous 2*theta*(1000-theta). Donc ton pourcentage de réussite devrait être (theta²+(1000-theta)²)/2+2*theta*(1000-theta) le tout divisé par 1000^2, ce qui donne un taux de réussite 1/2+theta/1000*(1-theta/1000), le maximum est bien en 500 et vaut 3/4... Pour 100, tu trouverais déjà 59% a priori.
En fait, sauf erreur, il faut choisir ton seuil pour maximiser la probabilité du gain à tous coups (qui correspond au cas où une boîte est au-dessus, une en-dessous), cette proba vaut 2*theta/1000*(1-theta/1000), pour tous les autres cas, tu as juste une chance sur deux. Bon, maintenant, je suis fatigué, peut-être me suis-je trompé, et je n'ai pas le courage d'écrire un petit code ce soir pour vérifier de mon côté...